Question

在直角坐標系中，點O₁的坐標為（1，0），⊙O₁與x軸交于原點O和點A，又點B、C的坐標分別為（-1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直線l是過B、C點的直線．
（1）當點C在線段OC上移動時，過點O₁作O₁D⊥直線l，交l于點D，若

S△BOC

S△BDO1

=a，試求a、b的函數關系式及a的取值范圍；
（2）當D點是⊙O₁的切點時，求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）因為∠DBO₁=∠OBC，∠BDO₁=∠BOC=90°，可證△BDO₁∽△BOC，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得S_△BOC：S_△BDO1=BC²：O₁B²=a，從而求出a、b的關系式，利用b的取值即可求出a的范圍．
（2）利用D是⊙O₁的切點，連接O₁D，則O₁D⊥BC．利用△BOC∽△BDO₁，可得

BD

BO

=

DO1

OC

，進而求出b的值，就求出了C的坐標．
設過B、C的直線l的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求解．

解答：解：（1）∵∠DBO₁=∠OBC，∠BDO₁=∠BOC=90°，
∴△BDO₁∽△BOC．
∴S_△BOC：S_△BDO1=BC²：O₁B²=a
∴

1+b2

4

=a
∴a=

1+b2

4

∵0＜b＜3
∴

1

4

＜a＜

5

2

．

（2）∵D是⊙O₁的切點，連接O₁D，則O₁D⊥BC．
同上可知△BOC∽△BDO₁∴

BD

BO

=

DO1

OC

∴

3

1

=

1

b

∴b=

3

3

，C（0，

3

3

）．
∵B（-1，0），
設過B、C的直線l的解析式為y=kx+b，
則有

0=-k+b b= 3 3

∴

k= 3 3 b= 3 3

∴y=

3

3

x+

3

3

．

點評：本題需仔細分析題意，利用待定系數法和相似三角形的性質即可解決問題．