Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸的右交點為A，頂點D在矩形OABC的邊BC上，當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直線y=mx+n經過拋物線的頂點D，該直線在矩形OABC內部分割出的三角形的面積記為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=x²+bx+c當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5求得拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），利用待定系數法求解析式即可；
（2）首先利用配方法求得D點的坐標，然后求得E點的坐標，表示出線段BD、AB、AE及BE的長，利用三角形的面積計算方法即可求得S與m之間的函數關系式．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5．
∴拋物線與x軸交于（1，0），（5，0）
∴
解得：b=-6  c=5；

（2）∵b=-6 c=5，
∴拋物線的解析式為y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴點D的坐標為（3，-4），
∵直線y=mx+n經過拋物線的頂點D，
∴3m+n=-4，
即：n=-3m-4，
∴直線y=mx+n的解析式為y=mx-3m-4，
設直線DE與AB交于點E，
∴E點的坐標為（5，2m-4），
∴BD=2  AB=4   AE=4-2m BE=2m，
∴S=BD•BE=±2m，
∵點E的縱坐標-5＜2m-4＜0
解得：-＜m＜2且m≠0
∴自變量的取值范圍為：-＜m＜2且m≠0，
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，解題的關鍵是正確的將點的坐標轉化為線段的長，體現了代數知識與幾何知識的融會貫通．