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在矩形ABCD中,點P在AD上,AB=2,AP=1.將直角尺的頂點放在P處,直角尺的兩邊分別交AB,BC于點E,F,連接EF(如圖①).
(1)當點E與點B重合時,點F恰好與點C重合(如圖②),求PC的長;
(2)探究:將直尺從圖②中的位置開始,繞點P順時針旋轉,當點E和點A重合時停止.在這個過程中,請你觀察、猜想,并解答:
①tan∠PEF的值是否發生變化?請說明理由;
②直接寫出從開始到停止,線段EF的中點經過的路線長.

【答案】分析:(1)由勾股定理求PB,利用互余關系證明△APB∽△DCP,利用相似比求PC;
(2)①tan∠PEF的值不變.過F作FG⊥AD,垂足為G,同(1)的方法證明△APB∽△DCP,得相似比===2,再利用銳角三角函數的定義求值;
②如圖3,畫出起始位置和終點位置時,線段EF的中點O1,O2,連接O1O2,線段O1O2即為線段EF的中點經過的路線長,也就是△BPC的中位線.
解答:解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
AP=1,CD=AB=2,則PB=
∴∠ABP+∠APB=90°,
又∵∠BPC=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∴∠ABP=∠DPC,
∴△APB∽△DCP,
=  即 =
∴PC=2

(2)①tan∠PEF的值不變.
理由:過F作FG⊥AD,垂足為G,
則四邊形ABFG是矩形,
∴∠A=∠PGF=90°,GF=AB=2,
∴∠AEP+∠APE=90°,
又∵∠EPF=90°,
∴∠APE+∠GPF=90°,
∴∠AEP=∠GPF,
∴△APE∽△GPF,
===2,
∴Rt△EPF中,tan∠PEF==2,
∴tan∠PEF的值不變;

②設線段EF的中點為O,連接OP,OB,
∵在Rt△EPF中,OP=EF,
在Rt△EBF中,OB=EF,
∴OP=OB=EF,
∴O點在線段BP的垂直平分線上,
∴線段EF的中點經過的路線長為O1O2=PC=

點評:本題考查了相似三角形的判定與性質,矩形的性質,解直角三角形.關鍵是利用互余關系證明相似三角形.
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AB
.(寫出一條線段即可)

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