Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖①）．
（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），求PC的長；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由；
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不變．過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比===2，再利用銳角三角函數的定義求值；
②如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點經過的路線長，也就是△BPC的中位線．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，則PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴=  即 =，
∴PC=2；

（2）①tan∠PEF的值不變．
理由：過F作FG⊥AD，垂足為G，
則四邊形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴===2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴tan∠PEF的值不變；

②設線段EF的中點為O，連接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O點在線段BP的垂直平分線上，
∴線段EF的中點經過的路線長為O₁O₂=PC=．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，解直角三角形．關鍵是利用互余關系證明相似三角形．