Question

（2012•六合區一模）已知，點P（x，y）在第一象限，且x+y=12，點A（10，0）在x軸上，設△OPA的面積為S．
（1）求S關于x的關系式，并確定x的取值范圍；
（2）當△OPA為直角三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）畫出圖形，表示出OA和PB的長，建立關于x的三角形面積的表達式，即為一次函數表達式；
（2）分情況討論：①若O為直角頂點，則點P在y軸上，不合題意舍去； ②若A為直角頂點，則PA⊥x軸，所以點P的橫坐標為10，代入y=-x+12中，得y=2，求出點P坐標為（10，2）；③若P為直角頂點，可得△OPB∽△PAB，根據相似三角形的性質求出P點橫坐標，進而得到P點坐標．

解答：解：（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函數圖象上，且在第一象限，
過點P作PB⊥x軸，垂足為B．
則 S_△OPA=

1

2

OA•PB=

1

2

•10•(-x+12)=-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情況討論：
①若O為直角頂點，則點P在y軸上，不合題意舍去； 
②若A為直角頂點，則PA⊥x軸，所以點P的橫坐標為10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以點P坐標（10，2）；
③若P為直角頂點，可得△OPB∽△PAB．
∴

OB

PB

=

PB

AB

．
∴PB²=OB•AB．
∴（-x+12）²=x（10-x）．
解得

x

1

=8， x2=9．
∴點P坐標（8，4）或（9，3）．
∴當△OPA為直角三角形時，點P的坐標為（10，2）或（8，4）或（9，3）．

點評：本題考查了一次函數綜合題，熟悉一次函數的性質以及三角形的面積公式以及懂得直角三角形的性質是解題的關鍵．