Question

（2009•淄博）如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm．
（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；
（2）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x²=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+ND≠AD即2x+x²≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根據這兩種情況來求解x的值．
（2）以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側．當點P在點N的左側時，AP=MC，BQ=ND；當點P在點N的右側時，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據這些條件列出方程關系式．
（3）如果以P，Q，M，N為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+ND≠AD即2x+x²≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x²，BQ=MC即x=3x，x≠0．這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形．
解答：解：（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構成一個三角形．
①當點P與點N重合時，由x²+2x=20，得x₁=-1，x₂=--1（舍去）．
因為BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此時點Q與點M不重合．
所以x=-1符合題意．
②當點Q與點M重合時，由x+3x=20，得x=5．
此時DN=x²=25＞20，不符合題意．
故點Q與點M不能重合．
所以所求x的值為-1．

（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側，
①當點P在點N的左側時，
由20-（x+3x）=20-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2．
當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．
②當點P在點N的右側時，
由20-（x+3x）=（2x+x²）-20，
解得x₁=-10（舍去），x₂=4．
當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．
所以當x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F．
由于2x＞x，
所以點E一定在點P的左側．
若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，
則點F一定在點N的右側，且PE=NF，
即2x-x=x²-3x．
解得x₁=0（舍去），x₂=4．
由于當x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形．
點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點．