Question

如圖所示，設M是△ABC的重心，過M的直線分別交邊AB，AC于P，Q兩點，且

AP

PB

=m，

AQ

QC

=n，則

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

分析：根據三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．可以分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，根據平行線等分線段定理和梯形中位線定理可得到兩個等式，代入所求代數式整理即可得到答案．

解答：解：分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，則BE∥AD∥CF，
∵點D是BC的中點，
∴MD是梯形的中位線，
∴BE+CF=2MD，
∴

1

m

+

1

n

=

PB

AP

+

CQ

AQ

=

BE

AM

+

CF

AM

=

BE+CF

AM

=

2MD

AM

=1．

點評：此題考查了重心的概念和性質，能夠熟練運用平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理以及梯形的中位線定理．