Question

【閱讀理解】：若一條直線l把一個圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線l叫做這個圖形的等積直線．如圖①，直線l經過三角形ABC的頂點A和邊BC的中點N，易知直線l將△ABC分成兩個面積相等的圖形，則稱直線l為△ABC的等積直線．

根據上述內容解決以下問題：
（1）如圖②，在矩形ABCD中，直線l經過AD、BC邊的中點M、N，請你判斷直線l是否為該矩形的等積直線．

是

 （填“是”或“否”）并在圖②中再畫出一條該矩形的等積直線；（不必寫作法，保留作圖痕跡）
（2）如圖③，在梯形ABCD中，直線l經過AD、BC邊的中點M、N，請你判斷直線l是否為該梯形的等積直線．

是

；（填“是”或“否”）
（3）在圖③中，過MN的中點O任做一條直線PQ分別交AD，BC于點P，Q（如圖④），猜想PQ是否為該梯形的等積直線，若“是”請證明，若“不是”請說明理由；
【探索應用】：
李大爺家有一塊五邊形的土地如圖⑤，已知∠A、∠B、∠C都是直角，AB∥CD，BC∥AE，現決定畫一條線把五邊形土地分為兩
塊，其中一塊地用來改種核桃樹，要求兩塊地面積相同，請你幫李大爺畫出這條線，并判斷這樣的直線有多少條（保留作圖痕跡，不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的面積公式即可判斷是等積直線，連接AC與MN相交于點O，則點O為矩形的中心，過點O的所有直線都是等積直線；
（2）根據梯形的面積公式可以判斷是等積直線；
（3）可證明△POM≌△QON，于是S_△POM=S_△QON，再利用（2）的結論可判斷；
探索應用：可結合（2）、（3）兩問的結論，把五邊形分為矩形和梯形，分別作出兩個圖形的等積直線，然后再作出等積直線夾在AE、DF，DF、BC之間的線段的中點，過這兩點作等積直線被AE、BC所截的線段的中點O，根據（3）的結論，過點O與AE、BC都相交的所有直線都是等積直線．

解答：解：（1）是；如圖所示，直線m即為所求作的另一等積直線；
（說明：只要所畫直線過MN的中點且與AD、BC或AB、CD相交即可．）

（2）是；

（3）是；
證明：∵O是MN的中點，
∴MO=NO，
在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PMO=∠QNO，
在△POM和△QON中，
∵

∠PMO=∠QNO MO=NO ∠POM=∠QON(對頂角相等)

，
∴△POM≌△QON（ASA），
∴S_△POM=S_△QON，
又∵MN是等積直線，
∴PQ也是等積直線；

探索應用：如圖所示，過點O且與線段AE、BC相交的直線均為所求的等積直線，所以有無數條等積直線．
（說明：過點D作DF∥BC交AB于點F，點G、H、L分別是AE、DF、BC的中點，取線段GH的中點M，線段HL的中點N，過點M、N的直線即為所求的直線m．
設等積直線m被AE、BC所截線段的中點為O，由（2）（3）可知過點O且與線段AE、BC相交的直線均為所求的等積直線，所以有無數條等積直線．）

點評：本題考查了應用與設計作圖，讀懂題意，明確等積直線的畫法，并熟練掌握三角形的中線，矩形的性質，梯形的面積的求解是解題的關鍵．