Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點（A、B分別在原點左、右兩側），與y軸正半軸交于點C，OB=OC=4OA，△ABC的面積為40．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若以拋物線上一點P為圓心的圓恰與直線BC相切于點C，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）求A、B、C三點的坐標，可以根據△ABC的面積為40，設A（-k，0），則點B、C的坐標為（4k，0）、（0，4k）、k＞0，得到關于k的方程，從而得出；
（2）代入法求出拋物線的解析式；
（3）代入法先求出直線BC的解析式，由切線的性質知PC⊥BC，延長PC交x軸于點Q，求出Q點的坐標，進而得到直線PQ的解析式，結合拋物線的解析式求得滿足條件的點P的坐標為（4，12）．
解答：解：（1）由題意設A（-k，0），則點B、C的坐標為（4k，0）、（0，4k）、k＞0，
∴AB=5k，由S_△ABC=×5k×4k=40，得k=2
∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，8）

（2）設拋物線y=a（x+2）（x-8），把（0，8）代入，
得a=
∴y=-（x+2）（x-8）
即y=-x²+3x+8

（3）易得直線BC為y=-x+8
由⊙P切BC于C，知PC⊥BC，延長PC交x軸于點Q，則OQ=OC=OB=8，
故得Q（-8，0），進而，直線PQ的解析式為y=x+8
解方程組
由于點（0，8）即為點C，不合題意，舍去．
所以，滿足條件的點P的坐標為（4，12）．
點評：本題結合三角形的面積考查二次函數的綜合應用，著重考查了代入法求函數解析式，以及解方程求交點坐標．