Question

（2010•福州）如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：；
（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個三角形的對應高，EF、BC是對應邊，它們的比都等于相似比，由此得證；
（2）此題要轉化為函數的最值問題來求解；由（1）的結論可求出AH的表達式，進而可得到HD（即FP）的表達式；已求得了矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到關于矩形EFPQ的面積和x的函數關系式，根據函數的性質即可得到矩形的最大面積及對應的x的值；
（3）此題要理清幾個關鍵點，當矩形的面積最大時，由（2）可知此時EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合時，矩形移動的距離為PC（即4），運動的時間為4s；
二、E在線段AC上時，矩形移動的距離為9-4=5，運動的時間為5s；
三、Q、C重合時，矩形運動的距離為QC（即9），運動的時間為9s；
所以本題要分三種情況討論：
①當0≤t＜4時，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN（設AC與FE、FP的交點為M、N）的面積差，FM的長即為梯形移動的距離，由此可得到S、t的函數關系式；
②當4≤t＜5時，重合部分是個梯形，可用t表示出梯形的上下底，進而由梯形的面積公式求得S、t的函數關系式；
③當5≤t≤9時，重合部分是個等腰直角三角形，其直角邊的長易求得，即可得出此時S、t的函數關系式．
解答：（1）證明：∵四邊形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴=；

（2）解：由（1）得=，∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x²+8x=-（x-5）²+20
∵-＜0，
∴當x=5時，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為20；

（3）解：如圖1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三種情況討論：
①如圖2，當0≤t＜4時，
設EF、PF分別交AC于點M、N，
則△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S_矩形EFPQ-S_Rt△MFN=20-t²=-t²+20

②如圖3
當4≤t＜5時，則ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S_梯形EMCQ=[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28

③如圖4
當5≤t≤9時，設EQ交AC于點K，則KQ=QC=9-t
∴S=S_△KQC=（9-t）²=（t-9）²
綜上所述：S與t的函數關系式為：
S=．
點評：此題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質及二次函數的應用等知識，同時還考查了分類討論的數學思想．