Question

如圖，已知直角梯形紙片OABC中，兩底邊AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=

3

．點T在線段AO上（不與線段端點重合），將紙片折疊，使點A落在射線AB上（記為點A′，折痕經過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設OT=t，折疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S．
（1）求∠OAB的度數；
（2）求當點A′在線段AB上時，S關于t的函數關系式；
（3）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；
（4）S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過B作AO的垂線那么得出的銳角的正切值就應該是上下底的差除以OC的長，正好可得出這個銳角應是30°，那么∠BAT的度數就應該是60°；
（2）由（1）得出的∠BAO的60°，以及折疊得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等邊三角形，且三邊長均為5-t．求面積就要有底邊和高，我們可以AA′為高，那么PT就是高，AA′=5-t，那么關鍵是PT的值，已知了∠BAT的度數，我們可以用AT的長以及∠BAT的正弦函數表示出PT的長，由此可根據三角形的面積公式得出關于S，t的函數關系式；
（3）當重疊部分是四邊形時，那么此時A′應該在AB的延長線上，那么此時AA′的最小值應該是AB的長即2，最大的值應該是當P與B重合時AA′的值即4，由于三角形ATA′是個等邊三角形，那么AT的取值范圍就是2＜AT＜4，那么t的取值就應是1＜t＜3；
（4）可分成三種情況進行討論：
①當A′在AB上時，即當3≤t＜5時，可根據（2）的函數來求出此時S的最大值．
②當A′在AB延長線上但P在AB上時，即當1≤t＜3時，此時重合部分的面積=三角形AA′T的面積-上面的小三角形的面積，根據AT和AB的長，我們可得出A′B的長，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當A′在AB延長線上且P也在AB延長線上時，即當0＜t＜1時，重合部分的面積就是三角形EFT的面積（其中E是TA′與CB的交點，F是TA與CB的交點）那么關鍵是求出BF，BE的值，知道了AT的長，也就知道了AP、A′P的長，根據AB=2我們不難得出BP的長，有了BP的長就可以求出A′B、BE的長，在直角三角形BPE中，可根據∠PBF的度數，和BP的長，來表示出BF的長，這樣我們就能表示出EF的長了，又知道EF邊上的高是OC的長，因此可根據三角形的面積來求出S的值．
然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）過點B作BE⊥OA，垂足為E，可得AE=OA-OE=1，tanA=

3

，
∴∠OAB=60°；（2分）
（2）當點A在線段AB上時，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等邊三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，
∴S_△ATP=

1

2

S_△ATA=

1

2

•

3

4

（5-t）²=

3

8

（5-t）²，（3≤t＜5）；
（3）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，因△A′TA是等邊三角形，所以2＜AT＜4，從而1＜t＜3；
（4）S存在最大值．
①當3≤t＜5時，S=

3

8

（5-t）²，在對稱軸t=5的左邊，S的值隨t的增大而減小，當t=3時，S的值最大是

3

2

；（8分）

②當1≤t＜3時，重疊部分的面積S=

3

8

（5-t）²-

3

4

（3-t）²=-

3

8

（t-1）²+

3

；
當t=1時，S有最大值為

3

；

③當0＜t≤1時，即當點A′和點P都在線段AB的延長線上（其中E是TA′與CB的交點，F是TA與CB的交點），
此時重疊部分的面積是三角形EFT的面積，AP=

1

2

AT=

5-t

2

，BP=AP-AB=

1-t

2

，
AB=AP+BP=

5-t

2

+

1-t

2

=3-t，因為三角形ABE是等邊三角形，因此，
BE=AB=3-t，在直角三角形BPF中，PF=2BP=1-t，因此EF=BE-BF=3-t-（1-t）=2，
因此S=

1

2

×2×

3

=

3

．

綜上所述，當t=1時，S存在最大值，最大值是

3

．

點評：本題主要考查了直角梯形，等邊三角形的性質以及二次函數的應用等知識點，弄清楚等邊三角形中各邊的關系是解題的關鍵．