Question

【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2．要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形（剪法如圖1所示），圖1中剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為S1；按照圖1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2（如圖2），則S2=_____；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為S3（如圖3）；繼續操作下去…則第2018次剪取后，S2018=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，可求得,同理可得規律Sn即是第n次剪取后剩余三角形面積和，根據此規律求解即可得答案.

∵四邊形ECFD為正方形，∴ED＝EC＝CF＝DF,∠AED＝∠DFB＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴AE＝DE＝CE＝DF＝BF＝EC＝CF,∵AC＝BC＝2，∴DE＝DF＝1，∴S△AED＋S△BDF＝S正方形ECDF＝1;同理S2即是第二次剪取后的剩余三角形的面積和，Sn即為第n次剪取后的三角形面積和，∴第一次剪取后剩余三角形的面積和為2－S1＝1＝S1,第二次剪取后剩余三角形的面積和為S1－S2＝＝S2，第三次剪取后剩余三角形的面積和為S2－S3＝＝S3，∴第2018次剪取后剩余三角形的面積和為S2017－S2018＝.