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圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,當點M與點C重合時,再向右平移,當點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當1≤x≤3.5時,求y與x的函數關系式;
②如圖5,當3.5≤x≤7時,求y與x的函數關系式;
③如圖6,當7≤x≤10.5時,求y與x的函數關系式;
④如圖7,當10.5≤x≤13時,求y與x的函數關系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)
【答案】分析:(1)當x=2時,Q離AD的距離為6+2=8,而G離AD的距離為7-2=5,因此重合部分的長為3.同理可求得重合部分的寬為1,因此y=3.
當x=18時,正方形MNPQ走完AB需14秒,因此x=18時,正方形MNPQ在BC邊上運動了4秒,而正方形EHFG擴張到最大需7秒再縮小到原來的大小需7秒,因此x=18時,正方形EHFG重復第二次運動,且第二次運動過程中運動了4秒,因此MN離AB的距離為6+4=10,OP離AB的距離為4,因此重合部分的長為6,同理可求得重合部分的寬為3,y=3×6=18.
(2)①當1≤x≤3.5時,是正方形EHGF第一次向外擴張的過程,此時MK=x+6,SK=7-x,因此MS=2x-1.同理可求得SG的長,由此可得出重合部分的面積y與x的函數關系式.
②當3.5≤x≤7時,正方形EHGF第一次向內收縮,此時重合部分的長不變為MN的長即6,而EQ=x,NP=6,因此重合部分的寬為6-x,由此可得出y與x的函數關系式.
③當7≤x≤10.5時,正方形EHGF第二次向外擴張,此時重合部分的寬仍為MN的長即6,MQ=6,TQ=x-7,因此MT=13-x,由此可得出y與x的函數關系式.
④當10.5≤x≤13時,正方形EHGF第二次向內收縮,解法參照①.
(3)根據②中x不同區間的y的函數關系式,可根據各函數的性質和自變量的取值范圍求出y的最大或最小值.
解答:解:(1)相應的圖形如圖1,2.
當x=2時,y=3;
當x=18時,y=18.


(2)①當1≤x≤3.5時,如圖3,
延長MN交AD于K,
設MN與HG交于S,MQ與FG交于T,則MK=6+x,SK=TQ=7-x,從而MS=MK-SK=2x-1,MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1.
∴y=MT•MS=(x-1)(2x-1)=2x2-3x+1.
②當3.5≤x≤7時,如圖4,
設FG與MQ交于T,則
TQ=7-x,
∴MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1.
∴y=MN•MT=6(x-1)=6x-6.
③當7≤x≤10.5時,如圖5,
設FG與MQ交于T,則
TQ=x-7,
∴MT=MQ-TQ=6-(x-7)=13-x.
∴y=MN•MT=6(13-x)=78-6x.
④當10.5≤x≤13時,如圖6,
設MN與EF交于S,NP交FG于R,延長NM交BC于K,則MK=14-x,SK=RP=x-7,
∴SM=SK-MK=2x-21,從而SN=MN-SM=27-2x,NR=NP-RP=13-x.
∴y=NR•SN=(13-x)(27-2x)=2x2-53x+351.

(3)對于正方形MNPQ,
①在AB邊上移動時,當0≤x≤1及13≤x≤14時,y取得最小值0;
當x=7時,y取得最大值36.
②在BC邊上移動時,當14≤x≤15及27≤x≤28時,y取得最小值0;
當x=21時,y取得最大值36.
③在CD邊上移動時,當28≤x≤29及41≤x≤42時,y取得最小值0;
當x=35時,y取得最大值36.
④在DA邊上移動時,當42≤x≤43及55≤x≤56時,y取得最小值0;
當x=49時,y取得最大值36.
點評:本題為壓軸題有一定難度,但難題也分層次性設計,只要平時多加積累解題經驗,探解題規律,一定會有很大收獲.
命題立意:考查解決大綜合題的數學能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它以每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A→B→C→D→A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)當正方形MNPQ第一次回到起始位置時,正方形EFGH是否也變化到起始位置?
(2)請你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(3)正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前(即x≤7時),何時正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位.
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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

25、圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,當點M與點C重合時,再向右平移,當點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當1≤x≤3.5時,求y與x的函數關系式;
②如圖5,當3.5≤x≤7時,求y與x的函數關系式;
③如圖6,當7≤x≤10.5時,求y與x的函數關系式;
④如圖7,當10.5≤x≤13時,求y與x的函數關系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)

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科目:初中數學 來源:第27章《二次函數》中考題集(46):27.3 實踐與探索(解析版) 題型:解答題

圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,當點M與點C重合時,再向右平移,當點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當1≤x≤3.5時,求y與x的函數關系式;
②如圖5,當3.5≤x≤7時,求y與x的函數關系式;
③如圖6,當7≤x≤10.5時,求y與x的函數關系式;
④如圖7,當10.5≤x≤13時,求y與x的函數關系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)

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科目:初中數學 來源:2008年江蘇省揚州市寶應縣中考數學二模試卷(解析版) 題型:解答題

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它以每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A→B→C→D→A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)當正方形MNPQ第一次回到起始位置時,正方形EFGH是否也變化到起始位置?
(2)請你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(3)正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前(即x≤7時),何時正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位.

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科目:初中數學 來源:2006年河北省中考數學試卷(課標卷)(解析版) 題型:解答題

(2006•河北)圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8;再經過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內側邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,當點M與點C重合時,再向右平移,當點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當1≤x≤3.5時,求y與x的函數關系式;
②如圖5,當3.5≤x≤7時,求y與x的函數關系式;
③如圖6,當7≤x≤10.5時,求y與x的函數關系式;
④如圖7,當10.5≤x≤13時,求y與x的函數關系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)

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