Question

已知拋物線y=x²+bx+1的頂點在x軸上，且與y軸交于A點．直線y=kx+m經過A、B兩點，點B的坐標為（3，4）．
（1）求拋物線的解析式，并判斷點B是否在拋物線上；
（2）如果點B在拋物線上，P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，設線段PE的長h，點P的橫坐標為x，當x為何值時，h取得最大值，求出這時的h值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+1的頂點在x軸上，即可得y=x²+bx+1=（x±1）²，即可得拋物線的解析式為y=x²-2x+1或y=x²+2x+1，然后將B（3，4）代入函數解析式即可確定B是否在拋物線上；
（2）由直線y=kx+m經過A、B兩點，即可得直線AB的解析式，設P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E．由PE=h=y_P-y_E，即可得當x為何值時，h取得最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+1的頂點在x軸上，
∴y=x²+bx+1=（x±1）²．
∴b=±2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1或y=x²+2x+1．（2分）
將B（3，4）代入y=x²-2x+1，左=右，
∴點B在拋物線y=x²-2x+1上．
將B（3，4）代入y=x²+2x+1，左≠右，
∴點B不在拋物線y=x²+2x+1上．（3分）

（2）∵A點坐標為（0，1），點B坐標為（3，4）．
∵直線y=kx+m，A、B兩點，
∴

1=m 4=3k+m

．
∴

m=1 k=1

．
∴y=x+1．（4分）
∵點B在拋物線y=x²-2x+1上．
設P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E
=（x+1）-（x²-2x+1）
=-x²+3x．
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（6分）
∴當x=-

b

2a

=

3

2

時，h有最大值，
最大值為y=-（

3

2

）²+3×

3

2

=

9

4

．（7分）

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，函數與點的關系以及二次函數的最值問題．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．