Question

如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周長．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等邊對等角）．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE=DF

（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD，
∵BE=1，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周長為12．
分析：（1）根據DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求證∠B=∠C．再利用D是BC的中點，求證△BED≌△CFD即可得出結論．
（2）根據AB=AC，∠A=60°，得出△ABC為等邊三角形．然后求出∠BDE=30°，再根據題目中給出的已知條件即可算出△ABC的周長．
點評：此題主要考查學生對等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質直角三角形的性質等知識點的理解和掌握．