Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，
（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，則∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）由（1）的結論得到AB：MC=BM：NC，把AB=4，BM=x，MC=4-x代入表示出NC，然后根據梯形的面積公式得y=（NC+AB）•BC，然后把NC、AB和BC的長代入即可得到
y與x之間的函數關系式．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴AB：MC=BM：NC，
而AB=4，BM=x，MC=4-x，
∴4：（4-x）=x：NC，
∴NC=，
∴y=（NC+AB）•BC
=（+4）×4
=-x²+2x+8．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組內角分別對應相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了正方形的性質以及梯形的面積公式．