Question

【題目】已知邊長為 3 的正方形中， 點(diǎn)在射線上， 且，連接交射線于點(diǎn)，若沿直線翻折， 點(diǎn)落在點(diǎn)處 ．

（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上，求的長；

（2）求的值；

（3）如果題設(shè)中“”改為“”， 其它條件都不變， 試寫出翻折后與正方形公共部分的面積與的關(guān)系式及自變量的取值范圍（只要寫出結(jié)論，不需寫出解題過程） ．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 和 ;(3) 若點(diǎn)在線段上，（）；若點(diǎn)在邊的延長線上，（）．

【解析】

（1）利用平行線分線段成比例定理求解；

（2）分兩種情況討論：①若點(diǎn)E在線段BC上；②若點(diǎn)E在邊BC的延長線上．運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)的定義分別求解即可；

（3）分兩種情況討論：①若點(diǎn)E在線段BC上；②若點(diǎn)E在邊BC的延長線上，分別用含x的式子表示出BE和DF，利用三角形面積公式求解即可.

解：（1），

，

，，

，

；

（2）①若點(diǎn)在線段上，如圖1，設(shè)直線與相交于點(diǎn)．

由題意得：．

，

，

，

．

設(shè)，則．

又，

，

在中，，

，

，

，，

；

②若點(diǎn)在邊的延長線上，如圖2，設(shè)直線與延長線相交于點(diǎn)．

同理可得：．

，

．

，

，

，

設(shè)，則．

在中，，

，

．

，；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時．

∵，BE+CE=3，

∴BE＝，

∴y＝AB·BE，即y＝（x>0）．

②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，△ADF的面積為所求．

∵，

∴，

又∵AB＝3，

∴FC＝，DF＝3，

∴y＝DF·AD，

∴y＝（）．

綜上所述：若點(diǎn)在線段上，（）；若點(diǎn)在邊的延長線上，（）．