Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．
 ①若∠A=90°，AB+CD=BC，則以AD為直徑的圓與BC相切；
 ②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓也與AD相切；
 ③若以AD為直徑的圓與BC相切，則AB+CD=BC；
 ④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．
以上判斷正確的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，然后證明△DCE≌△GCE，根據切線的判定定理即可判斷；
②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，設以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設圓與BC相切與點G，則連接EG，可以利用全等三角形的性質證得AB+CD=BC，然后取BC的中點F，中位線EF就是以BC為直徑的圓的圓心到AD的垂線段，根據切線的判定定理即可證得；
③需要條件∠A=90°．
④由面積法，可得以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．

解答：解：①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=

1

2

（AB+CD）=

1

2

BC=CF，
∴∠CEF=∠ECF，
∵EF∥CD，
∴∠DCE=∠CEF，
∵在△DCE和△GCE中，

∠DCE=∠ECF ∠D=∠CGE EC=EC

，
∴△DCE≌△GCE（AAS），
∴EG=DE=

1

2

AD，則以AD為直徑的圓與BC相切．
故命題正確；
②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，設以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設圓與BC相切與點G，
則連接EG，則EG⊥BC，且EG=ED．
∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，

EG=ED EC=EC

，
∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=CD，
同理，BG=AB，
∴AB+CD=BC，
取BC的中點，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=

1

2

（AB+CD）=

1

2

BC，
又∵若∠A=90°，則EF⊥AD，
∴以BC為直徑的圓也與AD相切．故②正確；
③需要∠A=90°，故錯誤．
④由面積法，可得以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．正確．
故正確的是：①②④．故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，切線的判定與性質，梯形的中位線的性質，正確作出輔助線是關鍵．