Question

【題目】函數 ，則f（x）在[0，k]的最大值h（k）=（ ）
A.2ln2﹣2﹣（ln2）3
B.﹣1
C.2ln2﹣2﹣（ln2）2k
D.（k﹣1）ek﹣k3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f′（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k）， 令f′（x）=0得x=0或x=ln2k，
令g（k）=k﹣ln2k，則g′（k）=1﹣ ＜0
∴g（k）在（ ，1]上是減函數，∴g（k）≥g（1）=1﹣ln2＞0，
∴k＞ln2k，
∴f（x）在[0，ln2k]上單調遞減，在（ln2k，k]上單調遞增，
∴f（x）的最大值為f（0）或f（k）．
f（k）﹣f（0）=（k﹣1）ek﹣k3+1=（k﹣1）（ek﹣k2﹣k﹣1），
令h（x）=ek﹣k2﹣k﹣1，則h′（k）=ek﹣2k﹣1，h′′（k）=ek﹣2，
令h″（k）=0得k=ln2，
∴h′（k）在（ ，ln2）上單調遞減，在（ln2，1]上單調遞增，
∵h′（ ）= ﹣2＜0，h′（1）=e﹣3＜0，
∴h′（k）＜0在（ ，1]上恒成立，
∴h（k）在（ ，1]上是減函數，∴h（k）＜h（ ）= ﹣ ＜0，
∴f（k）≥f（0），
∴f（x）的最大值為f（k）=（k﹣1）ek﹣k3 ，
故選D．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．