Question

（1998•天津）如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C兩點，D為PC的中點，連AD并延長交⊙O于E，已知：BE²=DE•EA．求證：
（1）PA=PD．
（2）2BP²=AD•DE．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據已知證△DEB∽△BEA，推出∠DBE=∠EAB，根據切線得出∠PAB=∠E，推出∠PAD=∠PDA即可；
（2）根據切割線定理和相交弦定理得出PA²=PB×PC=PD²，AD×DE=BD×DC，推出PB=BD=

1

2

PD=

1

2

DC，即可得出答案．

解答：證明：（1）
連接AB，
∵BE²=DE•EA，
∴

BE

DE

=

EA

BE

，
∵∠E=∠E，
∴△DEB∽△BEA，
∴∠DBE=∠EAB，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAB=∠E，
∴∠PAB+∠BAE=∠E+∠DBE，
即∠PAD=∠ADP，
∴PA=PD；

（2）證明：∵PA=PD，PA是⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，
∴由切割弦定理得：PA²=PB×PC=PD²，
∵D為PC中點，
∴PD=DC，
∴PD²=PB×2PD，
∴PD=2PB，DC=PD=2PB，
∵PD=PB+BD，
∴BD=PB，
由相交弦定理得：AD×DE=BD×DC，
∴AD×DE=PB×2PB，
即2PB²=AD×DE．

點評：本題考查了三角形外角性質，切線的性質，切割線定理，相交弦定理，相似三角形的性質和判定等知識點的綜合運用，綜合性比較強，有一定的難度．