Question

【題目】如圖，已知：二次函數y＝x2+bx的圖象交x軸正半軸于點A，頂點為P，一次函數y＝x﹣3的圖象交x軸于點B，交y軸于點C，∠OCA的正切值為．

（1）求二次函數的解析式與頂點P坐標；

（2）將二次函數圖象向下平移m個單位，設平移后拋物線頂點為P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y＝x2﹣2x，頂點P的坐標為（1，﹣1）；（2）m＝或m＝．

【解析】

(1)先由直線解析式求出點B,C坐標,利用∠OCA正切值求得點A坐標,再利用待定系數法求解可得;

(2)由平移知點P`坐標為(1,-1-m),設拋物線對稱軸與x軸交于點H,與BC交于點M

知M(1,- ),先得出S△ABP′＝ABP′H＝×4（m+1）＝2（m+1）,S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′MOB＝3|﹣m|,根據S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得

解：（1）∵y＝x﹣3，

∴x＝0時，y＝﹣3，

當y＝0時， x﹣3＝0，解得x＝6，

∴點B（6，0），C（0，﹣3），

∵tan∠OCA＝，

∴OA＝2，即A（2，0），

將A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，

解得b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

則拋物線解析式為y＝x2﹣2x，頂點P的坐標為（1，﹣1）；

（2）如圖，

由平移知點P′坐標為（1，﹣1﹣m），

設拋物線對稱軸與x軸交于點H，與BC交于點M，則M（1，﹣），

S△ABP′＝ABP′H＝×4（m+1）＝2（m+1），

S△BCP′＝S△P′MC+S△span>P′MB＝P′MOB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，

∴2（m+1）＝3|﹣m|，

解得m＝ 或m＝ ．