Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，AB=4，∠CAB=30°，點C在⊙O上，∠ABD=120°，且CD⊥BD，AD交⊙O于點E．
（1）求BD的長；
（2）求證：CD²=DE•DA．

Answer 1

分析：（1）連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角，再結合已知條件可以發現兩個30度的直角三角形，再進一步根據銳角三角函數的概念進行求解；
（2）只需證明CD是圓的切線，根據切割線定理即可求得結論．

解答：（1）解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AB=2，∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°．
∴BD=BC•cos∠CBD=1．

（2）證明：連接OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°=∠ABD．
∴OC∥BD．
∵CD⊥BD，
∴OC⊥CD．
∴CD是圓的切線．
∴CD²=DE•DA．

點評：綜合運用了圓周角定理的推論、解直角三角形的知識、切線的判定方法、切割線定理．注意：在圓中構造直徑所對的圓周角是常見的輔助線之一．