Question

（2013•奉賢區一模）如圖（1），已知∠MON=90°，點P為射線ON上一點，且OP=4，B、C為射線OM和ON上的兩個動點（OC＞OP），過點P作PA⊥BC，垂足為點A，且PA=2，連接BP．
（1）若

S△PAC

S四邊形ABOP

=

1

2

時，求tan∠BPO的值；
（2）設PC=x，

AB

BC

=y，求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；
（3）如圖（2），過點A作BP的垂線，垂足為點H，交射線ON于點Q，點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長是否發生變化？若不發生變化，求出它的值．若發生變化，試用含x的代數式表示OQ的長．

Answer 1

分析：（1）根據有兩對角相等的三角形相似可證明△CAP∽△COB，由相似三角形的性質可知：

S△PAC

S△COB

=（

AP

OB

）²，在由已知條件可求出OB的長，由正切的定義計算即可；
（2）作AE⊥PC于E，易證△PAE∽△PCA，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等PE=

4

x

，再利用平行線的性質即可得到

AB

BC

=

OE

OC

，所以y=

4+ 4 x

x+4

，整理即可得到求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域即可；
（3）點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長不發生變化，由△PAH∽△PBA得：

PA

PB

=

PH

PA

，即PA²=PH•PB，由△PHQ∽△POB得：

PQ

PB

=

PH

PO

即PQ•PO=PH•PB，所以PA²=PQ•PO，再由已知數據即可求出OQ的長．

解答：解：（1）∵PA⊥BC，
∴∠CAP=90°
∴∠CAP=∠0=90°，
又∵∠ACP=∠OCB，
∴△CAP∽△COB，
∴

S△PAC

S△COB

=（

AP

OB

）²，
∵

S△PAC

S四邊形ABOP

=

1

2

，
∴

S△PAC

S△COB

=

1

3

，
∴（

AP

OB

）²=

1

3

，
∵AP=2，
∴OB=2

3

，
在Rt△OBP中，tan∠OPB=

OB

OP

=

3

2

；
（2）作AE⊥PC于E，
∴∠AEP=∠CAP=90°
∵∠APE=∠CPA，
∴△PAE∽△PCA，
∴

PA

PC

=

PE

PA

，
∴2²=PE•x，
∴PE=

4

x

，
∵∠MON=∠AEC，
∴AE∥OM，
∴

AB

BC

=

OE

OC

，
∴y=

4+ 4 x

x+4

，
整理得：y=

4x+4

x2+4x

（x＞0）；
（3）點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長不發生變化，
理由如下：由△PAH∽△PBA得：

PA

PB

=

PH

PA

，即PA²=PH•PB，
由△PHQ∽△POB得：

PQ

PB

=

PH

PO

即PQ•PO=PH•PB，
∴PA²=PQ•PO，
∵PA=2，PO=4，
∴PQ=1，
∴OQ=3，
即點B、C在射線OM和ON上運動時，線段OQ的長不發生變化，長度是3．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、銳角三角函數的定義、平行線的判定和性質、由比例式引出的線段之間的函數關系，題目的綜合性綜合性很強，特別是第三問的動點問題是中考題中的難點．