Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12．動點M、N分別從點B、D同時出發，以每秒1個單位長度的速度運動．其中點M沿BC向終點C運動，點N沿DA向終點A運動，過點N作NP⊥BC于點Q，交AC于點P，連接MP．設動點運動的時間為t秒．
（1）當t=6時，PM=______；
（2）t為何值時，△PMC的面積等于矩形ABCD面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C，所以△CQP∽△CBA，即：=，當t=6時，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6，點M與點Q重合，可得出：PM=×AB，分別代入AB、BC、CQ的值求出PM即可；
（2）由（1）可得出=，當t秒后，CQ=t，所以PQ=t，CM=CB=BM=12-t，S_△PMC=×PQ×CM=×t×（12-t）=×6×12，解該方程求出t的值，并判斷t的值是否符合題意，若符合則說明是要求的t的值．
解答：解：（1）由題意得：
當t=6時，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6
又∵NP⊥BC于點Q
∴CQ=DN=6
∴當t=6時，點M與點Q重合
又∵∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C
∴△CQP∽△CBA
∴=
即：==
∴PM=×AB=×6=3cm．

（2）當經過t秒后，CQ=ND=t，BM=t，MC=BC-BM=12-t，
S_△PMC=×CM×PQ=（12-t）×PQ，
由（1）可知：=
即：PQ=×AB=×CQ=t，
又∵△PMC的面積等于矩形ABCD面積的，
即：S_△PMC=（12-t）×t=×6×12
t²-12t+32=0，
∴t₁=4，t₂=8．
所以，當t為4秒或者8秒時，△PMC的面積等于矩形ABCD面積的．
點評：本題主要考查了矩形的性質以及相似三角形的判定等知識點，關鍵在于理解清楚題意，列出關系式求解即可．