Question

在矩形OABC中，OA=4，OC=2，以點O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標系．
（1）將矩形OABC繞點C逆時針旋轉至矩形DEFC，如圖1，DE經過點B，求旋轉角的大小和點D，F的坐標；
（2）將圖1中矩形DEFC沿直線BC向左平移，如圖2，平移速度是每秒1個單位長度．
①經過幾秒，直線EF經過點B；
②設兩矩形重疊部分的面積為S，運動時間為t，寫出重疊部分面積S與時間t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OA=4，OC=2，BC=OA，因而就可求得BC=2CD，則可以求出∠BCD=60°，則旋轉角即可求得；作DM⊥CB于點M，FN⊥CB于點N，根據三角函數即可求得：DM，CM的長，從而求得D的坐標，在Rt△CFN中，根據三角函數即可求得CN，FN的長，即得F的坐標；
（2）①HB即為直線EF經過點B時移動的距離．在Rt△C′DH中利用三角函數即可求得DH，從而得到HE，再在△HEB中，利用三角函數求得BH，即可求得時間．
②重合的部分可能是四邊形，也可能是三角形，應分兩種情況進行討論．
解答：解：（1）如圖1．在矩形OABC中，OA=4，OC=2，
所以在RT△BCD中，BC=2CD，即
所以∠BCD=60°．所以旋轉角∠OCD=30°
作DM⊥CB于點M，FN⊥CB于點N．
在RT△CDM中，CM=CD•cos60°=1，DM=CD•sin60°=．
所以點D到x軸的距離為．
在RT△CFN中，，
所以點F到x軸的距離為4．
故D（1，），F（

（2）①如圖2，HB
即為直線EF經過點B時移動的距離．
在RT△C′DH中，，
所以．
在RT△BEH中，
HE=BHcos30°，則．
所以直線EF經過點B時所需的時間秒
②過點D作DM⊥BC于點M．
在RT△DMC′中，
C′M=．
在RT△DHC′中，C′D=C′Hcos60°=2．
當0＜t＜1時，重疊部分面積為四邊形DGCH，如圖2，
C′C=t，CG=C′Ctan60°=t．
．
當1≤t＜4時，重疊部分的面積為△GCH，如圖3，
．
所以重疊部分的面積．
點評：本題是三角函數與圖形的旋轉相結合的題目，注意旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．得到相等關系是解決本題的關鍵．