Question

在數學活動課時，王倩同學出了這樣一道題：“已知x₁、x₂是方程x²-x+1=0的兩個實數根，求x₁²+x₂²的值．”很快，張智同學便給出了如下的解答：“∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=1，∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-1．”
（1）你對王倩同學出的這道題及張智同學給出的解答是否有不同的看法？若有，請寫出你的見解；
（2）寫出一個你喜歡的一元二次方程，并求出

1

x1

+

1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式先判斷方程是否有實數根，有實數根了再根據根與系數的關系來求所給式子的值．
（2）根據自己的喜好寫出一個方程后，再用根與系數的關系來求所給式子的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-1，c=1．
∴△=b²-4ac
=（-1）²-4×1×1
=-3＜0．
∴方程沒有實數根，張智同學求的就是錯誤的．

（2）我選擇方程：x²-x-6=0．
∵a=1，b=-1，c=-6．
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁•x₂=

c

a

=-6．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

1

6

．

點評：總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
2、一元二次方程的根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．