Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=kx+m交y軸于點C，與拋物線y=ax2+bx交于點A（4，0）、B（-，-）．

（1）直線l的表達式為：______，拋物線的表達式為：______；

（2）若點P是二次函數y=ax2+bx在第四象限內的圖象上的一點，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面積；

（3）若點Q是二次函數圖象上一點，設點Q到直線l的距離為d，到拋物線的對稱軸的距離為d1，當|d-d1|=2時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x-3，y=-x2+2x；（2）S△AOP=；（3）點Q的坐標為（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．

【解析】

（1）將點A、B坐標代入一次函數、拋物線表達式即可求解；

（2）將直線l沿y軸向下平移個單位長度得直線y=x，交二次函數在第四象限內的圖象于點P，即可求解；

（3）確定d=QRcosα=|x2+2xx+3|×，d1=|x-2|，利用|d-d1|=2，即可求解．

解：（1）將點A、B坐標代入一次函數表達式：y=kx+m得：

，

解得：，

∴直線的表達式為：y=x-3，

同理將點A、B的坐標代入拋物線表達式，得

，

解得：a=，b=2，

∴拋物線的表達式為：y=x2+2x；

（2）將直線l向下平移m個單位，交拋物線于點P，交y軸于點D，

過點P、D分別作直線l的垂線HD、PM于點H、M，過點O作直線PD的垂線交直線l于點F、交直線PD于點E，

則PM=HD，2S△APB=S△AOB，則PM=HD=2OF，

直線的表達式為：y=x-3，則tan∠HCD=tan∠OCF，

即：，

解得：OC=OC=，

∵FC∥ED

∴，

∴，

即：x-=-x2+2x，

解得：x=或-2（舍去負值），

點P（，-），

S△AOP==；

（3）過點Q分別作直線l和函數對稱軸的垂線交于點H、G，過點Q作QR∥y軸交直線l和x軸于點R、S，

則∠RQH=∠RAS=α，直線AB表達式得k值為，即tanα=，則cosα=，

設點Q（x，-x2+2x）、則點R（x，x-3），

d=QRcosα=|-x2+2x-x+3|×…①，

d1=|x-2|…②，

|d-d1|=2…③，

聯立①②③并解得：x=或-或6或-1或1或4或-4，

故點Q的坐標為：（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．