Question

（2012•驛城區模擬）如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．
（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；
（2）請求出何時△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）先根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性質可知∠BAQ=∠ACP，故
∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結論；
（2）設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，當∠PQB=90°時，因為∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，當∠BPQ=90°時，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此兩種情況即可得出結論．

解答：解：（1）不變，∠CMQ=60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=

4

3

，
當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=

8

3

，
∴當第

4

3

秒或第

8

3

秒時，△PBQ為直角三角形．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、直角三角形的性質，熟知等邊三角形的三個內角都是60°是解答此題的關鍵．