Question

已知正整數a滿足192|a³+191，且a＜2009，求滿足條件的所有可能的正整數a的和．

Answer 1

由192|a³+191，可得192|a³-1+192=3×2⁶，
且a³-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）． （5分）
因為a（a+1）+1是奇數，
所以2⁶|a³-1等價于2⁶|a-1，
又因為3|（a-1）a（a+1），
所以3|a³-1等價于3|a-1．
因此有192|a-1，于是可得a=192k+1． （15分）
又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10．
因此，滿足條件的所有可能的正整數a的和為
11+192（1+2+…+10）=10571． （20分）