Question

黑板上有三個正整數a、b、c（不計順序）．允許進行如下的操作：擦去其中的任意一個數，寫上剩下的兩個數的平方和．如：擦去a，寫上b²+c²，這次操作完成后，黑板上的三個數為b、c、b²+c²．問：
（1）當黑板上的三個數分別為1，2，3時，能否經過有限次操作使得這三個數變為56，57，58（不計順序）．若能，請給出操作方法；若不能，請說明理由；
（2）是否存在三個小于2000的正整數a、b、c，使得它們經過有限次操作后，其中的一個數為2007．若能，寫出正整數a、b、c，并給出操作方法；若不能，請說明理由；
（3）是否存在三個小于2000的正整數a、b、c，使得它們經過有限次操作后，其中的一個數為2008．若能，寫出正整數a、b、c，并給出操作方法；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）不能；
當黑板上的三個數為1、2、3時，不論進行哪種操作都不能改變3個數的奇偶性，即三個數必為2個奇數1個偶數，
因此不能變為56、57、58．
（2）不能；
若能，則2007一定可以表示為兩個正整數的平方和，即2007=m²+n²（m，n為正整數）．
又任意一個自然數m，必有m²≡0（mod4）或m²≡1（mod4），
所以m²+n²≡0（mod4）或m²+n²≡1（mod4）或m²+n²≡2（mod4），而2007≡3（mod4），
因此不可能．
（3）不能；
若能，由（2）知，因為2008≡0（mod4），不妨設2008=（2m）²+（2n）²（其中m、n為正整數），
因此m²+n²=502．又任意一個自然數m，必有m²≡0（mod8）或m²≡1（mod8），
所以m²+n²≡0（mod8）或m²+n²≡1（mod8）或m²+n²≡2（mod8），而502≡6（mod8），
因此不可能．
分析：（1）首先要知道平方不能改變一個數的奇偶性，而且題目的操作都不能改變3個數的奇偶性，由這可以判斷不能變為56、57、58；
（2）不能；若能，則2007一定可以表示為兩個正整數的平方和，即2007=m²+n²（m，n為正整數），然后利用余數定理得到2007與3被4除余數相同，而m²+n²不可能被4除余數是3，所以假設是錯誤的；
（3）不能；若能，由（2）知，因為2008≡0（mod4），同樣根據（2）可以推出m²+n²不可能被4除余數是0，所以假設是錯誤的．
點評：此題是競賽題，主要考查了奇偶性，余數定理，可能有的符號還不能理解．