Question

拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＜0)交x軸于點A(－1，0)、B(3，0)，交y軸于點C，頂點為D，以BD為直徑的⊙M恰好過點C．

(1)求頂點D的坐標(用a的代數式表示)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線上是否存在點P使△PBD為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意：設拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)， 　　∴y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a． 　　∴點C(O，－3a)，D(1，－4a)． 　　(2)過點D作DE⊥y軸于點E，易證△DEC∽△COB． 　　∴，∴．∴a2＝l，∵a＜0，∴a＝－1． 　　故拋物線的解析式為：y＝－x2＋2x＋3． 　　(3)符合條件的點P存在，共3個． 　　①若∠BPD＝90°，P點與C點重合，則Pl(0，3)(P1表示第一個P點，下同)②若∠DBP＝90°，過點P2作P2R⊥x軸于點R，設⊙M交x軸于另一點H，設點P2(p，－p2＋2p＋3)， 　　由△BP2R∽△DBH得，＝，即， 　　解得p＝－或p＝3(舍去)．故p2(－，－)． 　　③若∠BDP＝90°，設DP3的延長線交y軸于點N，過點D作DE⊥y軸于點E可證△NDE∽△HDB， 　　求得EN＝，∴N(O，)，求得DN的解析式為y＝x＋． 　　求拋物線與直線DN的交點得P3(，)， 　　綜上所述：符合條件的點P為(0，3)、(－，－)、(，)．