Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若a、c異號，則方程ax²+bx+c=0一定有實數根；
②若b²-5ac＞0時，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等實數根；
③若b=a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；
④若方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不相等實數根．
其中正確的是（　　）

A．只有①③

B．只有①②④

C．只有①②

D．只有②④

Answer 1

分析：由于a、c異號，則△=b²-4ac＞0，根據判別式的意義可對①進行判斷；由于b²-5ac＞0時，△=b²-4ac＞ac，所以不管a、c異號與同號，都有△＞0，根據判別式的意義可對②進行判斷；由于b=a+c，△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，根據判別式的意義可對③進行判斷；方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，c可能為0，根據一元二次方程的定義可對④進行判斷．

解答：解：若a、c異號，則△=b²-4ac＞0，方程ax²+bx+c=0一定有實數根，所以①正確；
若b²-5ac＞0時，△=b²-4ac＞ac，所以不管a、c異號與同號，△＞0，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等實數根，所以②正確；
若b=a+c，△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根，所以③錯誤；
若方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，c可能為0，則方程cx²+bx+a=0就不能為一元二次方程，所以④錯誤．
故選C．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．