Question

如圖1，等腰直角△ABC的頂點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），頂點C在第一象限．點P從點A出發，沿△ABC的邊按逆時針方向勻速運動，同時，點O從點E（4，0）出發，沿x軸正方向以相同速度運動．當點P到達點C時．P、Q兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒，
（1）求AB邊的長及點C的坐標．
（2）當點P在AB邊上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），求P、Q兩點的運動速度．
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數關系式及面積S取最大值時點P的坐標．
（4）若點P、Q保持原速度不變，當點P沿著A→B→C勻速運動時，是否存在某時刻t（秒）．使得OP=PQ，如果存在，請求出符合條件的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點B作BM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥MB的延長線于點N，
∴∠AMB=∠CNB=90°
∵點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），
∴MB=8，MO=4，AO=10，
∴AM=6，在Rt△AMB中，由勾股定理，得
AB=10
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴△AMB≌△BNC，
∴BN=AM=6，CN=BM=8，
∴MN=14，CN=8
∴C（14，12）

（2）由圖2可知，點P從A運動到B用了10秒
∵AB=10，10÷10=1，
∴P，Q兩點運動速度均為每秒1個單位．
（3）作PG⊥y軸于G，BF⊥y軸于F，如圖則PG∥BF，
∴△AGP∽△AFB，
∴，
∴GA=t，
∴OG=10-t，
∵OQ=4+t，
∴S=OQ×OG=（4+t）（ 10-t）
即S=-
S=-（t²-t）+20
S=-（t-）²+
∴當t=時，S有最大值，此時，GP=，OG=10-t=
∴P（）
（4）當P在AB 上時，若OP=PQ如圖則作PH⊥x軸，
于是OH=OQ=．
∵△AGP∽△AFB
∴，OH=
∴=，t=
當P在 BC上時，若OP=PQ
過P作PH⊥x軸，過B作BF⊥y軸于F，交PH于M．
∵△PBM∽△BAF，OH=OQ=，PB=t-10，BA=10，AF=6，
∴，BM=（t-10），
∴8+（t-10）=，t=0（舍去），
∴綜上所述：當t=時，OP=PQ

分析：（1）過點B作BM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥MB的延長線于點N，由條件可以得出△AMB≌△BNC，根據A、B的坐標可以求出AM、BM的值，可以求出C的坐標，由勾股定理可以求出AB的值．
（2）由圖2可知，點P從A運動到B用了10秒，由行程問題的數量關系可以求出P、Q的運動速度．
（3）作PG⊥y軸于G，BF⊥y軸于F，如圖則PG∥BF，△AGP∽△AFB，利用相似三角形對應線段成比例表示出三角形POQ的高，根據三角形的面積公式就可以求出（2）中面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數關系式．然后轉化為頂點式就可以求出最值了．
（4）當P在AB 上時，若OP=PQ，如圖則作PH⊥x軸，有△AGP∽△AFB；當P在 BC上時，若OP=PQ過P作PH⊥x軸，過B作BF⊥y軸于F，交PH于M．有△PBM∽△BAF，有相似三角形的性質就可以求出點P的坐標．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，三角形的面積的運用，二次函數解析式的運用，坐標與圖象的性質及動點問題的解答．