Question

（2000•重慶）已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）如圖1，能否在AB上確定一點E，使AC²=AE•AB，為什么？
（2）如圖2，在條件（1）的結論下延長EC到P，連接PB．如果PB=PE，試判斷PB和⊙O的位置關系并說明理由．
（3）在條件（2）的情況下，如果E是PD的中點，那么C是PE的中點嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）能找到一點E，使AC²=AE•AB．當△ACE∽△ABE時就有這個結論；
（2）在條件（1）的結論下，PB和⊙O相切．
如圖連接BC，BO，并延長BO交圓與F，連接AF．利用（1）的結論可以得到∠ACB=∠AEC．根據PB=PE，可以得到∠PBE=∠PEB．再利用圓內接四邊形的性質和直徑所對的圓周角是直角，可以證明∠PBE+∠BAE=90°，從而證明題目結論；
（3）C是PE的中點．根據切線長定理可以得到PB²=PC•PD，而E是PD的中點，可以得到PE=PD，代入PB²=PC•PD中，變換就可以得到題目結論．
解答：解：（1）能找到一點E，使AC²=AE•AB．當△ACE∽△ABE時就有這個結論；

（2）在條件（1）的結論下，PB和⊙O相切．
如圖連接BC，BO，并延長BO交圓與F，連接AF．

∵AC²=AE•AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根據（2）可以得到PB²=PC•PD．
而E是PD的中點，可以得到PE=DE．
∴PE²=（PE-CE）×2PE=2PE²-2PE•CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中點．
點評：此題首先利用相似三角形的性質和等腰三角形的性質得到角的關系；再進一步利用這個角的關系和直徑所對的圓周角是直角，切線的判定證明切線，最后利用切線長定理得到結論．