Question

已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點C在線段AB的延長線上運動，點D在⊙O上運動（不與點B重合），連接CD，且CD=OA．
（1）當OC=時（如圖），求證：CD是⊙O的切線；
（2）當OC＞時，CD所在直線于⊙O相交，設另一交點為E，連接AE．
①當D為CE中點時，求△ACE的周長；
②連接OD，是否存在四邊形AODE為梯形？若存在，請說明梯形個數并求此時AE•ED的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）關鍵是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD為直角三角形，如答圖①所示；
（2）①如答圖②所示，關鍵是判定△EOC是含30度角的直角三角形，從而解直角三角形求出△ACE的周長；
②符合題意的梯形有2個，答圖③展示了其中一種情形．在求AE•ED值的時候，巧妙地利用了相似三角形，簡單得出了結論，避免了復雜的運算．
解答：（1）證明：連接OD，如答圖①所示．
由題意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，
∴OD²+CD²=OC²
由勾股定理的逆定理可知，△OCD為直角三角形，則OD⊥CD，
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：①如答圖②所示，連接OE，OD，則有CD=DE=OD=OE，
∴△ODE為等邊三角形，∠1=∠2=∠3=60°；
∵OD=CD，∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，
∴∠EOC=∠2+∠4=90°，
因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．
在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=，
在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，
∴△ACE的周長為：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．
②存在，這樣的梯形有2個．
答圖③是D點位于AB上方的情形，同理在AB下方還有一個梯形，它們關于直線AB成軸對稱．
∵OA=OE，∴∠1=∠2，
∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5，
∵四邊形AODE為梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∴∠3=∠5=∠1，
在△ODE與△COE中，

∴△ODE∽△COE，
則有，∴CE•DE=OE²=2²=4．
∵∠1=∠5，∴AE=CE，
∴AE•DE=CE•DE=4．
綜上所述，存在四邊形AODE為梯形，這樣的梯形有2個，此時AE•DE=4．
點評：本題是幾何綜合題，考查了圓、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、梯形等幾何圖形的性質，涉及切線的判定、解直角三角形、相似三角形的判定與性質等多個知識點，難度較大．