Question

把正△ABO繞著點O，按順時針方向旋轉任意角度α得到△CDO，邊CD與AB交于點H（如圖）．
（1）線段HC與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想；
（2）若OA=2，α=30°，求點H的坐標．

Answer 1

解：（1）HC=HB．
連接AC，BD，OB與x軸相交于點G，
由旋轉的性質OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD=α，
又OA=OB，
∴△OCA≌△OBD，
∴AC=BD，∠ACO=∠DBO，
又∠OCH=∠HBO=60°，
∴∠ACH=∠DBH，而∠CHA=∠BHD，
∴△CHA≌△BHD，
∴HC=HB；

（2）當α=30°時，∵∠AOB=60°，
∴OC平分∠AOB，即∠COB=30°，
又∠OCG=60°，∴∠OGC=90°，
在Rt△OGC中，OC=OA=2，OG=OC•cos30°=，
∴BG=OB-OG=2-，
在Rt△BGH中，GH=BG•tan60°=2-3，
∴H點的坐標為（，2-3）．
分析：（1）連接AC，BD，根據旋轉的性質及等邊三角形的性質易證△OCA≌△OBD，則AC=BD，∠ACO=∠DBO，又∠OCH=∠HBO=60°，可證∠ACH=∠DBH，對頂角∠CHA=∠BHD，可證△CHA≌△BHD，證明結論；
（2）當α=30°時，OC平分∠AOB，即∠COB=30°，又∠OCG=60°，則∠OGC=90°，在Rt△OGC中，解直角三角形可求OG，則BG=OB-OG，再解Rt△BGH求GH，確定H點的坐標．
點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質及三角形全等的判定與性質．關鍵是通過旋轉的性質運用，得到特殊三角形．