Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線L交⊙O于C、D兩點，分別作直線L的垂線，垂足分別為E、F，連接OE、OF．
（1）求證CE=DF   OE=OF
（2）若AB=10，CD=8．求AE+BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作OM⊥l，垂足為M，根據垂徑定理即可推出CM=DM，由平行線等分線段定理，可知ME=MF，通過等式性質即可求出結論，（2）連接OC，由AB=10，CD=8，即可推出CM和OC的長度，然后由勾股定理求得OM的長度，然后由OM是梯形AEFB中位線，根據梯形中位線的性質即可推出AE+BF=2OM=6．
解答：證明：（1）作OM⊥l，垂足為M，
∴CM=DM，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴OM∥AE∥BF，
又∵OA=OB，
∴ME=MF，
∴ME-CM=MF-DM，
∴CE=DF，
又∵ME=MF，OM⊥EF，
∴OE=OF（垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；

（2）連接OC，
∵AB=10，
∴OC=AB=5，
∵OM⊥CD，CD=8，
∴CM=CD=4，
∵Rt△OCM，
∴OM===3，
∵OA=OB，ME=MF，
∴OM是梯形AEFB中位線，
∴AE+BF=2OM=6，

點評：本題主要考查垂徑定理，平行線的性質，梯形的性質，勾股定理等知識點，關鍵在于根據題意正確的做出輔助線，熟練運用相關的性質定理，認真的進行計算．