Question

已知，如圖，PA切⊙O于點A，割線PD交⊙O于點C、D，∠P=45°，弦AB⊥PD，垂足為E，且BE=2CE，DE=6，CF⊥PC，交DA的延長線于點F．求tan∠CFE的值．

Answer 1

解：由相交弦定理，得AE•BE=DE•CE
又∵BE=2CE
∴AE•2CE=6CE
∴AE=3
∵AB⊥PD
∴∠AEP=90°
又∵∠P=45°
∴∠EAP=∠P=45°
∴PE=AE=3
在Rt△AEP中，由勾股定理，得：
PA===
∵PA切⊙O于點A
∴PA²=PC•PD
∴PC=
∴CE=PE-PC=3-2=1
∵FC⊥PD∴∠FCE=90°
又∵∠AED=90°
∴∠AED=∠FCE
∴AE∥FC
∴=
∴FC===
∴tan∠CFE===．
分析：求tan∠CFE的值就要找垂直關系，用邊表示出來，轉化為求邊長的問題，由已知條件CF⊥PC，可以推出tan∠CFE=，再利用圓的性質和切線的性質求出CE和FC兩邊的長度即可．
點評：此題考查知識點較多，有圓的性質，平行線分線段成比例，相交弦定理，勾股定理及切割線定理，是一道綜合性較強的題，同時也用到轉化思想，把求tan∠CFE的問題轉化為求邊長的問題．