Question

如圖，四邊形ABCD為邊長等于4的菱形，∠ABC=60°，點M為邊AD上一點，點N為邊DC上一點，且AM=DN．
（1）AM=DN=3時，求△BMN的面積；
（2）是否存在一點M和點N，使△BMN的面積等于

5 3

2

？若存在，請指出點M和點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AEB中求出BE，在Rt△NCF中求出NF，繼而得出GN，則S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN，代入計算即可．
（2）設AM=DN=x，則分別表示出BE，NF，GN，根據（1）的思路表示出△BMN的面積，從而建立方程求解即可．

解答：解：（1）過點B作BE⊥DA，交DA延長線于點E，過點N作NF⊥BC，交BC的延長線于點F，延長FN交AD于點G，
∵∠ABC=60°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABE=30°，∠FCN=60°，
又∵四邊形ABCD為邊長等于4，
∴AE=2，BE=2

3

，
∵AM=DN=3，
∴CN=CD-DN=1，
∴CF=

1

2

，NF=

3

2

，
∴GN=GF-NF=BE-NF=

3 3

2

，
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN=4×2

3

-

1

2

×3×2

3

-

1

2

×1×

3 3

2

-

1

2

×4×

3

2

=

13 3

4

；

（2）存在一點M和點N，使△BMN的面積等于

5 3

2

．
設AM=DN=x，則DM=4-x，CN=4-x，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴NF=

3

2

（4-x），
∴GN=2

3

-

3

2

（4-x），
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN
=4×2

3

-

1

2

×x×2

3

-

1

2

×（4-x）×[2

3

-

3

2

（4-x）]-

1

2

×4×

3

2

（4-x）
=-

3

4

x²-

3

x+4

3

=-

3

4

（x-2）²+5

3

，
∴當x=2時，△BMN的面積最大，最大值為5

3

．
此時M、N分別在AD、CD的中點處．

點評：本題考查了四邊形的綜合題，解答本題的關鍵是作出輔助線，利用解直角三角形的知識得出有關線段的長度表達式，注意利用“轉化法”表示不規則圖形的面積．