Question

（2004•云南）如圖，已知△ABC內接于⊙O，AE切⊙O于點A，BC∥AE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設AB=10cm，BC=8cm，點P是射線AE上的點，若以A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，問這樣的點有幾個并求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用弦切角定理及平行線的性質，證明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；
（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C為頂點與△ABC相似的三角形只有△CAP₁或△P₂AC，再根據相似三角形的性質求出AP的長．
解答：（1）證明：∵BC∥AE，
∴∠BCA=∠CAE，
又∵AE切⊙O于點A，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：射線AE上滿足條件的點有兩個．
①過點C作AB的平行線交AE于點P₁．
∵BC∥AE，
∴ABCP₁為平行四邊形，
∴AP₁=BC=8．
②過點C作⊙O的切線交AE于點P₂，
∴∠P₂AC=∠ABC，
又∠P₂CA=∠ACB，
∴△AP₂C∽△CAB，
∴AP₂：AC=AC：BC，
∴AP₂=AC²：BC=12.5．
點評：綜合考查了切線的性質，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質．本題較難．