Question

如圖，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中點(diǎn)，BF⊥EC于F，連接FD，F(xiàn)G⊥FD交直線BC于點(diǎn)G．
（1）求證：△FBG∽△FCD；
（2）當(dāng)n=1時，求CG：BC的值；
（3）當(dāng)CG：BC=7：8時，求n的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，BF⊥EC，F(xiàn)G⊥FD，利用同角的余角相等，易證得∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，即可得△FBG∽△FCD；
（2）由當(dāng)n=1時，AD=AB，可得四邊形ABCD是正方形，又由E是AB的中點(diǎn)，可得在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2

，繼而求得CG：BC的值；
（3）易求得在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2n

，可得在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2n

，又由BG：CD=1：8，即可求得n的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ACD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵BF⊥EC，F(xiàn)G⊥FD，
∴∠FBC+∠BCF=90°，∠BFG+∠GFC=90°，∠GFC+∠CFD=90°，
∴∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，
∴△FBG∽△FCD；

（2）當(dāng)n=1時，AD=AB，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2

，
∴在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2

，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2，
即BG：BC=1：2，
∴CG：BC=1：2；

（3）∵CG：BC=7：8，
∴BG：BC=1：8，
∴BG：CD=n：8，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

AB，
∵AD=nAB，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2n

，
∴在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2n

，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2n，
∴2n²=8，
解得：n=±2（-2舍去）．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．