Question

已知A（，0），直線與x軸交于點F，與y軸交于點B，直線l∥AB且交y軸于點C，交x軸于點D，點A關于直線l的對稱點為A′，連接AA′、A′D．直線l從AB出發，以每秒1個單位的速度沿y軸正方向向上平移，設移動時間為t．

（1）求點A′的坐標（用含t的代數式表示）；

（2）求證：AB＝AF；

（3）過點C作直線AB的垂線交直線于點E，以點C為圓心CE為半徑作⊙C，求當t為何值時，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析；（3）1或.

【解析】

試題分析：（1）由l∥AB得出∠ODC=∠OAB，再由點A（ ，0），求出∠ODC=∠OAB=30°，由點A關于直線l的對稱點為A'，求出A'點的坐標（用t的代數式表示）；（2）通過點F的坐標，得出AF，在Rt△OAB中，OA=，OB=2，求出AB，得AB=AF；（3）先由直線l是點A和A'的對稱軸得直線l是∠A'DA的平分線，即得點C到直線AD和A'D的距離相等，當⊙C與AD相切時，也一定與A'D相切，通過直角三角形求解．

試題解析：（1）∵直線與y軸交于點B，∴B（0，）.

∵l∥AB，∴∠ODC=∠OAB.

∵A（，0），∴. ∴∠ODC=∠OAB=30°．

∵BC=t，∴OC=2t. ∴OD=. ∴AD=.

∵點A關于直線l的對稱點為A'，∴A'D=AD=，∠A'DA=60°. ∴△A'DA是等邊三角形.

過點A'作A'H⊥AD于H，∴AH=，A'H=.

∴A'點的坐標為．

（2）∵直線與x軸交于點F ，∴F.

又A（，0），∴AF=4.

在Rt△OAB中，OA=，OB=2，∴AB=4.

∴AB=AF.

（3）分兩種情況討論：

①如圖1，當⊙C與AD（x軸）相切時，

∵直線l是點A和A'的對稱軸，∴直線l是∠A'DA的平分線.

∴點C到直線AD和A'D的距離相等. ∴當⊙C與AD（x軸）相切時，也一定與A'D相切．

∵∠OAB=30°且AB=AF，∴∠ABF=15°. ∴∠CBF=75°．

∵CE⊥AB，∠OBA=60°，∴∠BCE=30°. ∴∠CEB=75°.

∴CB=CE．

∵⊙C與AD相切，∴OC=CE=CB. ∴t=1．

②如圖2，當⊙C與AA'相切于點M時，CE=CB=CM，∴CM=t.

∵CM=DMCD，在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t2，∴CD=2t4.

∴，解得t=．

綜上所述，當t=1或時，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切.

考點：1.直線平移問題；2.一次函數綜合題；3.直線上點的坐標與方程的關系；4. 銳角三角函數定義；5.特殊角的三角函數值；6. 等邊三角形的判定和性質；7.軸對稱的性質；8.角平分線的性質；9.分類思想的應用.