Question

如圖，已知△ABC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為的中點，連結CE交AB于點F，且BF=BC．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為2，cosB=，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據AC=4，cosB==求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根據∠EAD=∠ACE，∠E=∠E證△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，設EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x²+4x²=16，求出即可．
解答：（1）BC與⊙O相切
證明：連接AE，
∵AC是⊙O的直徑
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E為弧AD中點，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC為直徑，
∴BC是⊙O的切線．

（2）∵⊙O的半為2
∴AC=4，
∵cosB==，
∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴==，
∴EC=2EA，
設EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=（負數舍去），
即CE=．
點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．