Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根據(jù)DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而得出答案；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以證明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可計算DE的長．
解答：（1）證明：如圖，連接OD．
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．    
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，
∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等邊三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，
CD=BD=5．
∵DE⊥AC，
∴DE=CD•sin∠C=5×sin60°=．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，用到的知識點是圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，是一道常考題型．