Question

如圖，有一塊圓形鐵皮，BC是⊙O的直徑，=，在此圓形鐵皮中剪下一個扇形（陰影部分）．
（1）當⊙O的半徑為2時，求這個扇形（陰影部分）的面積（結果保留π）．
（2）當⊙O的半徑為R（R＞0）時，在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐？請說明理由．

Answer 1

解：∵BC是⊙O的直徑，=
∴∠BAC=90°，AB=AC，AF⊥BC

（1）當⊙O的半徑為2時
AC=AB=2
∴S_陰影==2π；

（2）當⊙O的半徑為R（R＞0）時
AC=AB=R
陰影部分扇形的弧長為：Rπ
EF=2R-R
以EF為直徑作圓，是剩余材料中所作的最大的圓，其圓周長為：（2-）Rπ
∵Rπ＞（2-）Rπ
∴不能從第③塊余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐．
分析：（1）先由圓的性質求得陰影部分扇形的半徑，由直徑所對的圓周角是90°可知圓心角的度數，可求得陰影部分的面積；
（2）先分別用R表示出陰影部分扇形的弧長，即所要圍成的圓錐的底面周長為Rπ，以EF為直徑作圓，是剩余材料中所作的最大的圓，求出其周長為（2-）Rπ，比較大小可知不能從第③塊余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐．
點評：主要考查了扇形的面積計算以及圓錐的側面展開圖和底面圓之間的聯系．本題的難點在于第2問，解決問題的關鍵是找到剩余材料中所能做的最大圓的圓周長，并與圓錐的底面周長比較大小來判斷．