Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，連接BB₁，設CB₁交AB于D，A_lB₁分別交AB、AC于E、F。

（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A₁B₁C全等除外）；
（2）當△BB₁D是等腰三角形時，求α；
（3）當α=60°時，求BD的長。

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等
以證△CBD≌△CA₁F為例
證明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F（答案不唯一）；
（2）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B₁BD=∠CBB₁-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD
∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=（180°-α），α=30°
由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°；
（3）作DG⊥BC于G，設CG=x
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°
∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=x
∵AC=BC=1，∴x+x=1
x=
∴DB= 。