Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米．
（1）當t=4時，求S的值；
（2）當4≤t≤10，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先判定當t=4時，點B與點Q重合，點P與點D重合，則求△BDC的面積即可．
（2）分別從4≤t＜6與6≤t≤10去分析，求得各自的函數解析式，再分析各種情況下的最大值即可求得答案．
解答：解：（1）當t=4時，CQ=4cm，
過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴點D與點P重合，
∴S_△BDC=BC•DF=×4×=2（cm²）；
（2）當4≤t＜6時，P在線段AD上，作KH⊥QH，過點M作MN⊥BC于N，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC•sin60°=（6-t）
∴同理：MN=（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=QR•PG-BQ•EM-CR•FN
=×6×-×（t-4）²-×（6-t）²=-t²+5t-10，
∵a=-＜0，開口向下，
∴S有最大值，
當t=-=5時，S最大值為；
當6≤t≤10時，P在線段DA的延長線上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=BR=，TR=BR=（10-t），
∴S=TB•TR=××（10-t）=t²-t+，
當a＞0時，開口向上，-=10，
∴t=6時，S最大值為2；
綜上，t=5時，S最大值為．
點評：本小題主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函數等基礎知識，考查運算能力、推理能力和空間觀念．