Question

如圖，P為邊長為2的正三角形中任意一點，連接PA、PB、P C，過P點分別做三邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF=    ；陰影部分的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出等邊三角形的高，再根據△ABC的面積等于△PAB、△PBC、△PAC三個三角形面積的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；
（2）因為點P是三角形內任意一點，所以當點P為三角形的中心時，陰影部分的面積等于三角形面積的一半，求出△ABC的面積，即可得到陰影部分的面積．
解答：解：（1）∵正三角形的邊長為2，
∴高為2×sin60°=，
∴S_△ABC=×2×=，
∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，
∴S_△PBC=BC•PD，S_△PAC=AC•PE，S_△PAB=AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=BC•PD+AC•PE+AB•PF=×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF=；

（2）∵點P是三角形內任意一點，
∴當點P是△ABC的中心時，陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，
即陰影部分的面積為S_△ABC=．
故答案為：，．
點評：本題主要利用等邊三角形三邊相等的性質和三角形的面積等于被分成的三個三角形的面積的和求解；第二問體現了數學問題中由一般到特殊的解題思想．