Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x²+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．
（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），根據已知條件求出點E坐標為（m，8+m）；由于點E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值．在計算四邊形CAEB面積時，利用S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO，可以簡化計算；
（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數．
解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵點A（-4，0），B（0，4）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴，
解得：b=-3，c=4，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4．

（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴點E坐標為（m，8+m）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m=-2．
∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，
S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO=×2×6+（6+4）×2-×2×4=12．

（3）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，則D（m，4+m）．
∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，則BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=-m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（-3，1）或（-2，2）．
點評：本題考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、函數圖象上點的坐標特征、待定系數法、相似三角形、等腰直角三角形、圖象面積計算等重要知識點．第（3）問需要分類討論，這是本題的難點．