Question

（2009•北京）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當BC=4，cosC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，證明OM∥BE，再結合等腰三角形的性質說明AE⊥BE，進而證明OM⊥AE；
（2）結合已知求出AB，再證明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性質計算．
解答：（1）證明：連接OM，則OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵點M在圓O上，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線
∴BE=BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=
∴BE=2，cos∠ABC=
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB==6
設⊙O的半徑為r，則AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴
∴
解得
∴⊙O的半徑為．
點評：本題是小綜合題，考查等腰三角形，平行線，角平分線，直線和圓的位置關系，相似三角形等知識點．