Question

如圖，BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，過D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H，求證：

（1）DG²＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

Answer 1

【提示】（1）證△BCG∽△DCG；（2）證Rt△HBG∽Rt△CFG．

【答案】（1）DG為Rt△BCD斜邊上的高，

∴　Rt△BDG∽Rt△DCG．

∴　＝，即DG²＝BG·CG．

（2）∵　DG⊥BC，

∴　∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．

∴　∠ABC＋∠ECB＝90°．

∴　∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．

∴　∠H＝∠ECB．

又　∠HGB＝∠FGC＝90°，

∴　Rt△HBG∽Rt△CFG．

∴　＝，

∴　BG·GC＝GF·GH．